【建設(shè)教育強國·教育筆談】

　　作者：徐彥輝（溫州大學數(shù)理學院副教授）

　　黨的二十大報告提出，加強基礎(chǔ)研究，突出原創(chuàng)，鼓勵自由探索?？萍疾俊⒔逃?、中科院、自然科學基金委2019年聯(lián)合制定的《關(guān)于加強數(shù)學科學研究工作方案》指出，數(shù)學是自然科學的基礎(chǔ)，也是重大技術(shù)創(chuàng)新發(fā)展的基礎(chǔ)。數(shù)學實力往往影響著國家實力，幾乎所有的重大發(fā)現(xiàn)都與數(shù)學的發(fā)展與進步相關(guān)。

　　數(shù)學是一門充滿自由和創(chuàng)造力的學科，數(shù)學家們可以自由地發(fā)揮想象力，創(chuàng)造出新的概念及方法，探索未知的領(lǐng)域。想象是數(shù)學創(chuàng)造性思維的基本要素，想象力對于數(shù)學研究和發(fā)現(xiàn)至關(guān)重要。傳統(tǒng)的數(shù)學教育往往流于形式主義，不利于培養(yǎng)學生的想象力。為此，本文著重探討如何有效培養(yǎng)學生的數(shù)學想象力。

　　1.數(shù)學的創(chuàng)造需要想象和想象力

　　數(shù)學是一門完全按照符號運行的純粹理性科學，是一門抽象的基于公理化的形式化科學，具有逐級抽象的特點。數(shù)學學科的這種抽象性特點，使得不少人認為數(shù)學研究就是按部就班地從現(xiàn)實情境中提煉問題，發(fā)現(xiàn)其中的數(shù)學問題及其規(guī)律性，進而將數(shù)學問題組織成原理，并用數(shù)學語言模式描繪原理，最后，進行數(shù)學原理的驗證和進一步推廣。數(shù)學學科這種一步一步逐級抽象的特點常常使人看不到數(shù)學創(chuàng)造的本真過程，容易讓一些人認為數(shù)學的創(chuàng)造就是按部就班的機械式過程，數(shù)學創(chuàng)造不需要想象和想象力，從而導致數(shù)學教育中常常忽視想象和想象力的培養(yǎng)。

　　事實上，想象和想象力在數(shù)學創(chuàng)造和發(fā)現(xiàn)中起著極其重要的作用。數(shù)學家可以不受已有體系的思維束縛，大膽地運用想象力，發(fā)現(xiàn)新的數(shù)學知識。數(shù)學是一個有機的整體，它像一個龐大的、多層次的、不斷生長的、無限延伸的網(wǎng)絡(luò)。數(shù)學家們的工作是建立新的網(wǎng)絡(luò)結(jié)點，尋找新的連接，清理和整合眾多的連接，并從客觀世界汲取營養(yǎng)來豐富、延伸這個網(wǎng)絡(luò)。數(shù)學的創(chuàng)造大多來自數(shù)學家的直覺，它離不開想象。數(shù)學原本就是用來描述所有可想象世界的科學，它是一個邏輯上封閉的系統(tǒng)，在基礎(chǔ)公理的奠基下，可以朝各個方向無限延伸。想象的空間延展到哪兒，數(shù)學的腳步就能邁到哪兒。簡而言之，數(shù)學的世界就是一個充滿無限可能的想象世界。

　　列寧曾高度評價想象在科學創(chuàng)造中的重要作用，認為“幻想是極其可貴的品質(zhì)”，他說，“有人認為，只有詩人才需要幻想，這是沒有理由的，這是愚蠢的偏見！甚至在數(shù)學上也是需要幻想的，甚至沒有它就不可能發(fā)明微積分?！闭軐W家帕斯卡爾也說，“想象的特別之處在于，它可以產(chǎn)生最偉大的事物?！毕胂笫怯梢阎疃人伎嘉粗翘剿髡胬韺殠斓蔫€匙。數(shù)學發(fā)明創(chuàng)造的動力很大程度上是基于想象力的發(fā)揮，數(shù)學家必須具備想象力，這樣才能發(fā)現(xiàn)數(shù)學知識之間隱藏的聯(lián)系，并發(fā)揮想象構(gòu)思出新的數(shù)學知識。

　　最成功的數(shù)學家是知識面最寬、概念的類比能力和想象能力最強的人。正如數(shù)學家愛德華·弗倫克爾所指出的那樣：想象力在我們的工作中確實起著至關(guān)重要的作用。知名數(shù)學家、德國馬科斯-普朗克數(shù)學研究所教授唐·查吉爾也曾指出：對于數(shù)學家來說，想象力非常重要，雖然這并不代表擁有更豐富想象力的數(shù)學家就一定能做出更多的成果，但是數(shù)學家的想象力越豐富，他的數(shù)學成果的“品味”就越高級，甚至可以開創(chuàng)一個全新的領(lǐng)域。想象力是能動的知識，是創(chuàng)造力和智慧的必要背景。一個人可能擁有很多數(shù)學知識、數(shù)學基礎(chǔ)扎實，如果這個人同時又具備足夠想象力的話，就有可能創(chuàng)造出新的數(shù)學知識。

　　2.很多人“只是學會了計算，而不是數(shù)學”

　　想象力是一種非常重要的思維能力，被定義為“形成感官不存在的外部對象的新想法或概念的能力”。它不僅僅是一種形成圖像的能力，而是一種以特定方式思考的能力。每一個重大基礎(chǔ)問題的突破，都是一次想象力的飛躍。愛因斯坦非常重視想象力，他說，“想象力比知識更重要，因為知識是有限的，而想象力概括著世界上的一切，推動著進步，并且是知識進化的源泉。嚴格地說，想象力是科學研究中的實在因素”。

　　想象力不是生來就有的先天素質(zhì)，而是后天開拓和教育培養(yǎng)的結(jié)果。長期以來，我國傳統(tǒng)的數(shù)學教育缺乏驚奇和想象力，制約了學生創(chuàng)造力的發(fā)展。培養(yǎng)想象力不是一朝一夕就能實現(xiàn)的，需要我們長期堅持不懈地努力。

　　有一個論點聽起來發(fā)人深省，那就是：我們的學生可能從未學過真正的數(shù)學。正如著名數(shù)學家陳省身先生在全球數(shù)學家大會上指出的那樣：“我們每個人一生都花了很多時間學數(shù)學，但我們其實只是學會了計算，而不是數(shù)學。”其中的原因很多——刻板的教學方式、教科書和課程，以及我國數(shù)學教育傳統(tǒng)和考試文化對“規(guī)范”的極端重視，對“遵循規(guī)范”的過度強調(diào)與訓練。這些訓練教導學生如何依循規(guī)則找出每個問題背后統(tǒng)一的標準答案，實質(zhì)上嚴重制約著學生想象力的發(fā)展。在這種情境下，發(fā)現(xiàn)數(shù)學之美、延展想象力的空間相當有限。事實上，學生在課堂中時常會有一些奇怪的想法，這些想法也許聽起來很荒唐，甚至不著邊際，但其實這正是開發(fā)學生想象力的絕好機會。而在以前的課堂上，很多教師并沒有意識到這種機會的可貴，也不擅長把握這樣的機會，這種忽視，常常導致學生創(chuàng)造性想象的意識被扼殺在搖籃之中。

　　　3.將想象力培養(yǎng)滲透到課堂各環(huán)節(jié)

　　數(shù)學不是缺乏人性色彩的單純的計算學科。在數(shù)學教學中，我們要鼓勵學生大膽想象，讓學生學會自己提出問題、自己發(fā)現(xiàn)、自己試錯，親身經(jīng)歷創(chuàng)造中的挫折、產(chǎn)生靈感，最終形成自己的解釋和證明。學生想象力的發(fā)展應(yīng)成為數(shù)學教育中必不可少的部分，必須鼓勵學生利用他們的想象力獨立思考。筆者結(jié)合多年的教學實踐，談?wù)勗跀?shù)學教學中培養(yǎng)學生想象力的一些探索。

　　一是注重背景知識的導入，引導學生積極討論交流以激發(fā)想象?？v觀數(shù)學的發(fā)展，人們對數(shù)學的認識和了解，數(shù)學概念、問題、定理、法則、公式、理論的提出和完善，無不包含著數(shù)學家們豐富的想象力。如果在教學中適當?shù)亟榻B有關(guān)背景知識，使學生了解數(shù)學猜想的提出及數(shù)學概念、問題、定理、法則、公式和理論建立的來龍去脈，不僅能激發(fā)學生的學習興趣，加深學生的理解程度，而且能使學生從數(shù)學家們研究問題的方法中得到啟發(fā)，培養(yǎng)學生嚴謹治學的科學態(tài)度以及善于想象的意識和能力。

　　想象力是一種多角度、多層面的思維能力，它需要圍繞某一問題朝著多種不同的方向展開思考。在課堂教學中，教師可以按照知識內(nèi)容和教學要求來轉(zhuǎn)變問題的形式和視角，為學生提供發(fā)揮想象的空間，鼓勵學生積極想象，盡可能讓學生對同一問題說出不同的觀點和看法，同時支持學生相互爭辯、討論，在爭辯和討論中促進對問題的深入思考。如此一來，學生的思維被有效啟發(fā)，進而培養(yǎng)豐富的想象力。另外，教師還可以有意識地設(shè)計一些與教學內(nèi)容密切聯(lián)系的數(shù)學想象題，采用“頭腦風暴法”引導學生進行積極討論，從不同的角度進行引導，給學生提供充分的想象空間和創(chuàng)造想象的機會，這種做法常常能沖破空間和物質(zhì)條件的限制，拓寬學生的思維與視野，激發(fā)學生的想象，提高其數(shù)學想象力。

　　二是運用類比，啟發(fā)想象。類比是一種重要的數(shù)學思維方法，許多數(shù)學創(chuàng)造性思維是在類比中產(chǎn)生的，許多重大的數(shù)學發(fā)現(xiàn)也是通過類比找出相似性從而誕生的。數(shù)學創(chuàng)造之奇妙，很大程度上在于發(fā)現(xiàn)許多表面上看似毫無關(guān)聯(lián)的事物，卻在本質(zhì)上有著千絲萬縷的聯(lián)系。類比想象能夠讓數(shù)學家們在差別很大的兩者之間找出共同的特征，數(shù)學家們也常常根據(jù)不同數(shù)學知識或符號在某些方面的相似性而建立起聯(lián)系，這種建立聯(lián)系的橋梁便是想象。

　　在數(shù)學教學中，運用類比想象是激發(fā)學生定向思維、培養(yǎng)學生數(shù)學想象力的有效方法之一。實踐中，學生如果具有類比想象的意識和眼光，常常只要理解最基本的數(shù)學知識，就可以通過類比想象出其他相應(yīng)的數(shù)學知識。正確地運用類比想象，還能使學生學習的數(shù)學知識融會貫通。正如數(shù)學家烏拉姆曾指出的：所謂的數(shù)學才能，在一定范圍內(nèi)正是依賴于這種發(fā)現(xiàn)類比的能力。培育學生數(shù)學想象的能力，需要學生在想象中積累這種通過類比發(fā)現(xiàn)知識之間關(guān)聯(lián)的經(jīng)驗，積蓄想象的力量。

　　三是注重直觀理解和發(fā)掘知識之間的聯(lián)系以啟發(fā)想象。想象是以形象形式為主，“豐富的表象”是展開想象的前提。想象力發(fā)展的首要條件是主體本身具有一定的表象儲備，沒有表象活動，就沒有想象力。正如菲爾茨獎獲得者、法國數(shù)學家迪厄多內(nèi)所說：“富有創(chuàng)造性的科學家與眾不同之處，在于他們對所研究的對象有一個活生生的構(gòu)想和深刻的了解。”美國數(shù)學家斯蒂恩也指出：如果一個特定的問題可以被轉(zhuǎn)化為一個圖形，那么，就從思想上整體地把握了問題，并且能創(chuàng)造性思索問題的解法。在數(shù)學課堂教學中，要培養(yǎng)學生的想象力，教師就必須遵循直觀性教學原則，充分發(fā)揮實物或直觀教具的作用，同時，善于運用多媒體教學手段或直觀形象的語言為抽象的問題設(shè)計模型，讓學生獲得想象的“源泉”，這是產(chǎn)生想象力的沃土。

　　教學實踐中，教師可以借助各種教學方法與手段，如數(shù)形結(jié)合、注重知識之間的聯(lián)系，于不疑處設(shè)疑，一疑激發(fā)多疑，淺疑探深疑……引導學生進行縱向的朝向“深處”的探索和橫向的朝向“廣處”的發(fā)現(xiàn)，展開“相似性想象”與“相異性想象”，從而激活學生的思維和想象力，努力讓學生對數(shù)學知識達到直觀的本質(zhì)的理解。教師還可以通過一題多解、一題多變等方法激發(fā)學生的創(chuàng)造性思維。

　　培養(yǎng)數(shù)學想象力的策略還有很多，一位好老師應(yīng)該懂得在教學中怎樣激發(fā)和保護學生的想象力。要培養(yǎng)學生的數(shù)學想象力，教師首先要教導學生打下扎實的數(shù)學知識基礎(chǔ)，這是培養(yǎng)學生數(shù)學想象力的根基。沒有扎實寬廣的知識面，想象力就是無源之水。想象力的產(chǎn)生是基于經(jīng)驗的，直接取決于一個人先前經(jīng)驗的深刻性、豐富性、多樣性，以及他的思維方式。很難想象一個知識基礎(chǔ)不扎實、沒有良好思維方式的學生能有豐富的想象力。事實上，學生腦中蘊藏著無限的想象力，只要教師努力開發(fā)一切教育元素，將想象力的培養(yǎng)滲透到課堂的各個環(huán)節(jié)，每一個教學環(huán)節(jié)都有意識地采取正確的教學方法去啟發(fā)、誘導學生，堅持不懈地工作，埋在學生心底的想象和想象力的種子就一定能生根、發(fā)芽、開花、結(jié)果。

　　《光明日報》（2024年02月06日 15版）